Riassunto / Abstract

L’esperimento propone la verifica della legge di Coulomb e lo studio dell’andamento della forza attrattiva tra due piastre metalliche cariche (i.e. condensatore ad una d.d.p. fissata) in funzione della distanza tra le armature del condensatore.

Scheda sintetica delle attività

Si misura la forza di attrazione tra due lastre cariche ad una data differenza di potenziale in funzione della distanza tra le lastre e se ne determina la legge.

Risorse necessarie

• Bilancia da cucina con sensibilità 1g
• due lastre di metallo (e.g. Al ) da \(25 \cdot 30\ cm^2\)   di spessore almeno \(2,5 mm\);
• supporti adatti a tenere la lastre separate di almeno \(1 mm\);
• racchetta anti-zanzare (la nostra racchetta aveva una ddp di circa \(800 V\), le racchette che si acquistano possono arrivare a \(2-4 kV\);
• fili per contatti elettrici;
• fogli di carta A4, un blocchetto di foglietti “gialli”;
• foglio elettronico.

Prerequisiti necessari

• Saper montare un circuito elettrico;
• concetti di posizione, velocità, accelerazione, massa, forza, energia, campo elettrico e gravitazionale;
• utilizzo di strumenti matematici elementari (e.g. derivate, prodotto scalare e vettoriale, integrali);
• capacità di usare un software di analisi dati (e.g. foglio Excel);
• saper costruire e leggere un grafico.

Obiettivi di apprendimento

• Comprendere e saper calcolare la forza elettrostatica tra due piastre cariche ad una data differenza di potenziale.
• comprendere la relazione tra forza gravitazionale e forza elettrostatica e dipendenza tra peso misurato sulla bilancia e forza attrattiva tra le due piastre cariche;
• conoscere l’andamento della forza di Coulomb in funzione della distanza tra le armature del condensatore.

Dotazioni di sicurezza

La racchetta anti-zanzare sviluppa una differenza di potenziale di alcuni kV (2-4 kV) e può dare una scossa non pericolosa ma sicuramente fastidiosa. Le lastre cariche si comportano come un condensatore e possono restare cariche alla d.d.p. data anche per diversi minuti, è bene aver cura di scaricare le piastre prima di toccarle. Eventualmente si possono usare guanti in silicone per maneggiare gli strumenti in sicurezza.

Svolgimento

Allestimento 

Il condensatore viene realizzato usando due piastre metalliche poste l’una sopra l’altra ad una certa distanza e caricate sfruttando la d.d.p. generata da una racchetta anti-zanzare.

1. Posizionare una lastra sulla bilancia e tararla su 0 grammi.
2. Poggiare la seconda lastra sui supporti e posizionarla sopra la prima, assicurandosi che le due lastre non si tocchino.
3. Realizzare un circuito elettrico usando una racchetta anti-zanzare (generatore del circuito) e due fili per contatti elettrici: collegare le due estremità dei due fili alla racchetta e le altre due alle due piastre.

Il setup sperimentale è mostrato in figura 1.

Introduzione 

Si registra il peso misurato dalla bilancia in funzione dell’aumento della distanza tra la lastra superiore (posizionata sui supporti) e la lastra inferiore poggiata sulla bilancia (e.g. aggiungendo fogli di carta tra i supporti e la lastra superiore). Durante l’esperimento rimarranno costanti la d.d.p. (fornita alle piastre utilizzando la racchetta anti-zanzare), la costante dielettrica del mezzo contenuto tra le armature del condensatore (ovvero \(\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10{-12}\ F/m\)  costante dielettrica del vuoto) e la superficie \(S\) del condensatore.

Essendo il sistema costituito da condensatore e generatore (racchetta anti-zanzare) un sistema isolato, l’energia totale si conserva, le uniche forze agenti sul sistema sono la forza peso e la forza elettrostatica tra le due piastre metalliche; all’equilibrio vale l’uguaglianza \[F_G = F_C\].
Ora, la forza di Coulomb tra due cariche \(q_1\) e \(q_2\) e  può essere scritta come:

\[F_C = k \cdot \frac{q_1q_2}{R^2}\]
con \(k\) costante e \(R\) distanza tra le cariche. Di conseguenza, l’andamento aspettato per la forza elettrostatica tra le due armature di un condensatore in funzione della distanza \(d\) tra le armature stesse è del tipo

\[F_C \propto k \cdot d^{-2}\]

ci aspettiamo cioè  che la forza elettrostatica diminuisca aumentando la distanza tra le armature del condensatore con l’inverso del quadrato della distanza.

Misure e Analisi Dati 

Per verificare la relazione tra forza elettrostatica e area del condensatore si raccolgono i valori letti sulla bilancia in funzione della distanza tra le due piastre. Ripetendo diversi set di misure si aumenta l’attendibilità dei risultati sperimentali, il grafico finale si costruisce riportando sull’asse delle \(y\) la media aritmetica dei valori misurati dalla bilancia e sull’asse delle \(x\) la distanza tra le piastre. Per ottenere il valore della forza attrattiva tra le armature (misurata in Newton) a partire dal peso letto sulla bilancia (misurato in g) è necessario moltiplicare per l’accelerazione gravitazionale \(g = 9,81\ m/s^2\)  e tenere conto del fattore di conversione da grammi a kilogrammi (\(10^{-3}\)). 
Riguardo questo esperimento i dati per semplicità sono stati riportati calcolando gli spessori in millimetri, come mostrato nella tabella 1.

Nella Tabella 1 sono riportati i valori sperimentali relativi a tre differenti set di misure, usando la stessa d.d.p. per caricare le piastre e mantenendo costante la loro distanza. L’errore sulla forza F  è stato calcolato usando la formula della semidispersione massima:

\[\Delta F = \frac{F_{max}-F_{min}}{2}\]
(fermandosi alla prima cifra significativa).
Nota:  la semidispersione è una stima corretta dell’incertezza standard sulla media quando si effettuano due sole misure, altrimenti per N>2 misure sperimentali l’incertezza sulla media è:

\[\sigma_{\bar{y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\]

Nella figura 2 è mostrato il grafico dei valori della forza in funzione della distanza tra le due piastre assieme al fit ottenuto con un andamento del tipo \(y = ax^b\). Nel riquadro i valori di a e b e i corrispondenti errori.

In base ai valori ottenuti abbiamo che \(k = a = 0,1248\) e \(n = b = -2,03 \pm 0,01\) (con un errore pari a 0,01), in accordo con l’andamento atteso.

Volendo riportare l’andamento ad una retta, è interessante notare che in scala logaritmica risulta:

\[F = m \cdot g = k \cdot x^n \longrightarrow lnF=n \cdot ln x + ln k\]

L’andamento è quindi lineare del tipo \(y = a + b \cdot x\)

con b = n = -2,02, come mostrato anche in figura 3.

Discussione 

Come verifica per l’esperimento qui proposto si può calcolare la forza di Coulomb attesa tra le piastre facendo uso della teoria, di un po’ di algebra elementare.

Per ricavare la legge che descrive la forza attrattiva tra le armature di un condensatore piano usiamo il principio dei lavori virtuali calcolando in modo opportuno il lavoro associato allo spostamento di cariche tra le armature del condensatore e il generatore.
Consideriamo il sistema costituito da generatore e condensatore, mostrato in figura 4:

Come ben noto si può calcolare il lavoro associato ad uno spostamento \(\Delta \vec{s}\) usando la formula: \(L = \vec{F} \cdot \Delta \vec{s} = –  \Delta U\).
Indicando \(\Delta \vec{s} = \left( \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z \right)\) si può ottenere la componente x della forza come:

\[F_x = – \frac{\Delta U}{\Delta x}\]
.
Dall’elettrostatica, sappiamo che l’energia \(U\) immagazzinata tra le armature di un condensatore si può scrivere come:

\[U = \frac{1}{2}Q \cdot V = \frac{1}{2}C \cdot V^2\]

Calcoliamo ora la variazione di energia associata ad una variazione di carica \(\Delta Q\). Nel farlo dobbiamo però tenere conto del fatto che condensatore e generatore costituiscono un sistema chiuso e l’energia si conserva solo se si considera tutto il sistema. Alla luce di questa osservazione, la variazione di energia deve tener conto della variazione di energia sia nel condensatore sia nel generatore, quindi:

\[\Delta U = \frac{1}{2}\Delta Q \cdot V – \Delta Q \cdot V = -\frac{1}{2}\Delta Q \cdot V = – \frac{V^2}{2}\left(C_2 – C_1 \right)\]

Nell’ultimo passaggio abbiamo particolarizzato il calcolo all’esperimento, in quanto nel nostro esperimento la variazione di carica \(\Delta Q\) è dovuta alla variazione della capacità del condensatore quando modifichiamo la distanza tra le armature inserendo i foglietti di carta.
Sostituendo la definizione di capacità, si ottiene:

\[\Delta U = – \frac{V^2}{2} \epsilon_0A\left( \frac{1}{x_2} – \frac{1}{x_1} \right) =   – \frac{V^2}{2} \epsilon_0A \left(\frac{x_1 – x_2}{x_1x_2} \right)\]

Otteniamo così per la componente x della forza l’espressione:

\[F_x = -\frac{\Delta U}{\Delta x} = – \frac{1}{2} \frac{\epsilon_0A}{x_1x_2}  V^2 \simeq  – \frac{1}{2} \frac{\epsilon_0A}{x^2}  V^2\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo considerato che \(x_2 = x_1 + \delta \simeq x_1\) essendo \(\delta\) una variazione di spessore piccola.

Calcoliamo ora la forza tra le armature del nostro condensatore, utilizzando i seguenti dati:

• la racchetta anti-zanzare genera una d.d.p. V di circa \(800\ V\);
• la costante dielettrica del vuoto \(\epsilon_0\) (ovvero l’aria tra le armature del condensatore) è pari a \(8,85 \cdot 10^{-12} F/m\) ;l’area del condensatore A (considerando la grandezza delle lastre metalliche utilizzate) è di circa \(0,048\ m^2\);il primo spessore misurato è \(d= 5,4 \cdot 10^{-4} m\).

 Sostituendo questi valori otteniamo il risultato \(|F_x| = 0,46\ Nv\) in accordo con il valore riportato in tabella 1 per lo spessore con n=1.

Note

ATTENZIONE: se avviene una scarica quando si accende la racchetta vuol dire che le due piastre sono troppo vicine e bisogna aggiungere un po’ di spessore (e.g. inserendo un foglietto di carta ripiegato tra i supporti e la piastra superiore). Si consiglia inoltre di usare la racchetta dopo averla tenuta in carica tutta la notte o addirittura mantenendola attaccata alla corrente, in modo da garantire che fornisca sempre la stesso voltaggio alle piastre.

OSSERVAZIONE 1: Per un calcolo più preciso dell’errore sulla media, in particolare in relazione ad un set di misure più numeroso, è più corretto utilizzare la formula \[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\]
dove N è il numero di misure eseguite e σ la deviazione standard delle N misure effettuate.
Da notare che nel caso di due sole misure (N=2) la deviazione standard si riduce alla semidispersione:

OSSERVAZIONE 2: la forza tra le piastre è attrattiva quindi la massa misurata è negativa (la lastra superiore è posizionata sui supporti ed attrae quella inferiore poggiata sulla bilancia).

\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{x_{max}-x_{min}}{2}\]

SVILUPPI: Potrebbe essere interessante calcolare il parametro  \(k\) in funzione di diversi spessori utilizzando la relazione: \(F_C = k \cdot d^2\):  il valore dovrebbe risultare costante.

Autori

Meneghini Carlo
Carlini Laura

Specifiche esperimento Materia Fisica Classi a cui è rivolto 2° biennio Tipologia di laboratorio Strumentazione semplice Reperibilità del materiale Uso quotidiano, negozi specializzati, siti web Materiale specifico Piastre metalliche, racchetta anti-zanzare, bilancia Durata esperimento in classe 2 h Capacità di bricolage/assemblaggio Sì Necessità lavorazioni meccaniche/elettroniche Sì Necessità PC per acqusizione/analisi dati Sì Necessità di uno smartphone No Parole chiave Elettromagnetismo Elettrostatica Forza di Coulomb Superfici cariche