39) Molle in serie e in parallelo

Riassunto / Abstract

In questo esperimento si studiano le costanti elastiche di due molle connesse in serie e in parallelo, per via statica e per via dinamica.

Scheda sintetica delle attività

Nel caso statico si collegano le due molle a un corpo rigido, prima singolarmente e poi in serie o in parallelo, misurando nei vari casi l’allungamento complessivo del sistema, attraverso l’abbassamento di quota del corpo rigido. 
Nel caso dinamico, si studiano le stesse configurazioni, lasciando oscillare il sistema 10 volte e ricavando la costante elastica a partire dalla frequenza di oscillazione.

Risorse necessarie

  • Due molle diverse (ad esempio, quella di un cuscino e quella di un bigodino);
  • vari pesetti;
  • metro flessibile;
  • asta (ad esempio, due ferri da calza);
  • cronometro.

Prerequisiti necessari

  • Proporzionalità lineare o diretta;
  • legge di Hooke;
  • fondamenti della statica del corpo rigido;
  • moto armonico.

Obiettivi di apprendimento

  • Comprendere il diverso comportamento di un sistema di molle disposte in serie o in parallelo;
  • saper elaborare i dati di un esperimento;
  • saper interpretare i risultati di un esperimento alla luce del comportamento teorico previsto.

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Inizialmente viene misurata la costante elastica delle singole molle  attraverso la legge di Hooke (nell’esperimento sono state utilizzate la molla di un cuscino e la molla di un bigodino); poi le due molle sono state collegate prima in parallelo e infine in serie, come mostrato nelle figure seguenti.

Figura 1: le due molle collegate in parallelo.

Per la disposizione in parallelo le molle sono sospese a quote differenti in modo che le estremità inferiori siano alla stessa quota; ad esse viene sospeso un corpo rigido (due ferri da maglia attaccati mediante colla a caldo) che verrà poi via via appesantito con i pesetti; occorre controllando che i ferri da maglia restino sempre orizzontali in modo che le due molle abbiano sempre la stessa deformazione, questo può controllarsi spostando i pesetti in orizzontale sui ferri da maglia.

Figura 2: le due molle collegate in serie

Le misure e l’analisi dei dati nel caso statico e in quello dinamico è riportata nel seguito. 

Caso statico
Tabella 1 e 2 riportano i dati misurati sulle due molle nel caso statico;  l’incertezza sulla misura della x è assunta pari alla sensibilità del metro \(\pm 0,001\ m\); per quanto riguarda l’incertezza sull’allungamento della molla \(( \Delta x = x – x_0)\), esso è calcolato come somma in quadratura delle incertezze sulle posizioni, ovvero moltiplicando l’incertezza sulla posizione per \(\sqrt{2}\).
Dai singoli valori della costante k è stata determinata la migliore stima della costante elastica k come media pesata dei valori ottenuti e l’errore come l’errore sulla media pesata.Molla di cuscino

Tabella 1: dati misurati e valori calcolati della costante elastica relativi alla molla di cuscino

La media pesata dei valori della costante elastica è quindi \(k_{cuscino} = 14.3 ± 0.2 N/m\).

Molla di bigodino

Tabella 2: dati misurati e valori calcolati della costante elastica relativi alla molla di bigodino

La media pesata dei valori è quindi \(k_{bigodino} = 32,3 ± 0.2 N/m\). 

Molle in parallelo

Tabella 3: dati misurati e valori calcolati della costante elastica relativi alla molle in parallelo

La media pesata dei valori è (45.6 ± 0.5) N/m,  compatibile, entro \(2 \sigma\) con il valore atteso pari a \(k_{atteso} = 46.6 ± 0.4\  N/m\), dato dalla somma dei valori delle costanti elastiche:

\[k_{atteso} = k_{cuscino} + k_{bigodino}\]

\[\sigma_{k_{atteso}} = \sqrt{ \sigma {k{cuscino}}^2  +  \sigma {k{bigodino}}^2 }\]

Molle in serie

Tabella 4: dati misurati e valori calcolati della costante elastica relativi alle molle in serie

La media pesata dei valori è \((9.8 ± 0.2) N/m\), ed è compatibile con il valore atteso \(k_{atteso} = 9.9 ± 0.2 N/m\),  il cui reciproco è dato dalla somma dei reciproci delle costanti elastiche: 

\[\frac{1}{k_{atteso}} = \frac{1}{k_{cuscino}} + \frac{1}{k_{bigodino}}\]

\[\sigma_{k_{atteso}} = k_{atteso} \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{molla}}}{k_{molla}})^2 +  (\frac{\sigma_{k_{bigodino}}}{k_{bigodino}})^2}\]

In conclusione, quindi, i valori ottenuti sono compatibili con quelli attesi sia nel caso in parallelo che in quello in serie. 

Vale la pena osservare che partendo dalla simmetria tra le leggi della costante elastica, della capacità dei condensatori, e della resistenza di un circuito ohmico, si ricavano analogamente le leggi per i sistemi di condensatori e resistenze, ovvero 

per i condensatori: 

  • il sistema in serie ha una Q costante quindi la capacità equivalente segue la regola dei reciproci
  • il sistema in parallelo ha la DV costante quindi si ha la regola della somma semplice

per le resistenze:

  • il sistema in serie ha la stessa I quindi seguirà la regola della somma semplice
  • il sistema in parallelo ha la stessa V quindi seguirà la regola dei reciproci.

Caso dinamico
Lemisure sono state ottenute prendendo il tempo necessario a che la molla esegua 10 oscillazioni complete; il valore del periodo T è stato ottenuto dividendo il tempo totale per 10. Per calcolare il valore della costante elastica, si è considerata la legge del moto armonico:

\[\large{ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}\]

che sviluppata fornisce:

\[\large{ k = \frac{4\pi^{2}m}{T^{2}}}\]

Nel caso dinamico le misure sono soggette a una maggiore dispersione.
Di seguito sono riportati i valori ottenuti per le molle singole e i valori ottenuti per i casi di molle in serie e molle in parallelo.

Tabella 5: dati misurati e valori calcolati della costante elastica relativi alle due molle nel caso dinamico

Per la molla di bigodino la media pesata dei valori è \((30.0 ± 0.5) N/m\), mentre per la molla di cuscino è  \((14.8 ± 0.5) N/m\).

Nelle configurazioni in serie e in parallelo invece otteniamo:

Tabella 6: dati misurati e valori calcolati della costante elastica relativi alle molle collegate in parallelo e in serie

Per il caso in parallelo la media pesata dei valori è \((44.7 ± 0.2) N/m\), compatibile con il valore atteso di \((44.8 ± 0.7) N/m\).
Per il caso in serie la media dei valori è \((10.2 ± 0.2) N/m\), compatibile con il valore atteso di \((9.9 ± 0.4) N/m\).

E’ senz’altro utile stimolare i ragazzi a verificare se le misure statiche forniscono risultati compatibili con le misure dinamiche o meno.

Autori

Pierri Raffaele

Specifiche esperimento


Materia
Fisica
Classi a cui è rivolto
1° biennio
Tipologia di laboratorio
Povero
Reperibilità del materiale
Uso quotidiano
Materiale specifico
Due molle diverse, pesi, cronometro, metro, asta metallica
Durata esperimento in classe
3 h
Capacità di bricolage/assemblaggio

Necessità lavorazioni meccaniche/elettroniche
No
Necessità PC per acqusizione/analisi dati
No
Necessità di uno smartphone
No
Parole chiave
Meccanica
Dinamica del punto materiale
Deformazione elastica
Legge di Hooke

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