Riassunto / Abstract

L’attività propone di determinare l’equazione della traiettoria di un grave (pallina) lanciato in direzione orizzontale, studiandone le caratteristiche cinematiche. L’attività si può svolgere nel laboratorio di fisica o può esser lasciata come compito agli studenti. 

In una fase successiva si può effettuare un’attività di esplorazione-simulazione con strumenti informatici ma sarà oggetto di un altro contributo.

Scheda sintetica delle attività

DETERMINAZIONE DELLA TRAIETTORIA

La parte riguardante la definizione della traiettoria è affrontata dall’intero gruppo classe utilizzando le due rotaie PASCO come nella figura 1.

Montare due rotaie una inclinata e una orizzontale, collegandole in modo che una biglia di acciaio possa scorrere lungo una delle due scanalature. Le rotaie sono lunghe 2m, quindi si può variare sensibilmente l’altezza di caduta per poter avere diverse velocità di lancio. Naturalmente si può ovviare all’uso delle rotaie costruendo un profilo di caduta (ad es. con il polistirolo) l’importante è che abbia una parte finale orizzontale abbastanza lunga (almeno 50-60 cm) per poter effettuare la misura della velocità di lancio.

Misurare la velocità della biglia in uscita e il suo spostamento orizzontale per diverse altezze di caduta, ripetendo la misura almeno 4 volte e ricavando la traiettoria. Ripetere per una diversa velocità di lancio (ottenuta facendo partire la biglia da un’altezza diversa).

GITTATA

Lavoro di gruppo. Si possono utilizzare nuovamente le rotaie come sopra oppure si può costruire la “rampa” di lancio come illustrato in figura 2.

Risorse necessarie

Parte I: DETERMINAZIONE DELLA TRAIETTORIA

• Due rotaie PASCO o analogo per poter variare la velocità di lancio in modo riproducibile;
• fotocellule;
• biglia d’acciaio o di vetro;
• cronometro collegato con due fotocellule;
• filo a piombo;
• metro a nastro;
• cartoncino con foglio di carta bianca e foglio di carta copiativa, si può usare  il coperchio di una scatola come “vassoio” (figura 3);
• doppia asta con morsetto per fissare il cartoncino e treppiede.

Parte 2: GITTATA

per un singolo gruppo di lavoro:

• profilo per moto parabolico;
• morsa da tavolo;
• cronometro;
• metro;
• pentolino con ovatta;
• biglia di acciaio o di vetro;
• filo a piombo, gessetto.

Per realizzare la “rampa” occorrono:

• 4 stecche (Si possono usare stecche di vario tipo come righe da disegno lunghe almeno 50 cm, stecche di legno o anche le canaline in plastica per fili elettrici, in questo caso le palline sono “guidate” e non c’è pericolo che cadano di lato);
• morsa da tavolo;
• asta;
• morsetto con astina per fissare il piano inclinato che funge da appoggio alle stecche;
• nastro di carta.

L’idea è di realizzare il binario su cui deve correre la pallina disponendo le aste parallele, a 6-7mm di distanza (per biglie di 1,5cm di diametro). Fissare con lo scotch di carta le aste tra loro, sul piano inclinato e sul tavolo.

ATTENZIONE: il piano potrebbe non essere perfettamente orizzontale, compensare con degli “spessori” di carta; non usare inclinazioni eccessive o accompagnare la discontinuità tra piano inclinato e orizzontale perché la pallina arrivata sul piano orizzontale tende a rimbalzare.
Se si opta per questa soluzione, i tempi di esecuzione vanno aumentati di almeno mezz’ora per allestire e “collaudare” la rampa.

NB: Usando le righe da disegno, l’esperimento può essere assegnato come compito per casa, ma serve comunque una discreta manualità.

Prerequisiti necessari

1. Conoscere la funzione parabola;
2. saper fare misure di spazio e tempo;
3. saper elaborare le misure calcolando medie ed errori;
4. saper interpretare un grafico.

Obiettivi di apprendimento

• Verificare che un grave lanciato con una velocità iniziale orizzontale descrive una traiettoria parabolica:
• mettere in relazione la traiettoria con i moti componenti confrontando la previsione teorica con la misura pratica.

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Introduzione: teoria

Si consideri un oggetto lanciato con velocità orizzontale Vo da un’altezza H. Il moto può essere studiato in un sistema di riferimento cartesiano con asse delle ascisse orizzontale e asse delle ordinate verticale orientato verso il basso. Applicando il principio di composizione dei moti simultanei, il moto può essere descritto nel modo seguente:

L’equazione della traiettoria può essere ricavata esplicitando il tempo nella prima equazione e sostituendolo nella seconda. Si ottiene:

che è l’equazione di una parabola con il vertice nell’origine.
La gittata si ricava sempre dalla risoluzione del sistema ponendo \(y = H\) ossia uguale all’altezza di caduta. Si ottiene:

parte 1: Determinazione della traiettoria (gruppo classe)

Dopo aver scelto il punto di partenza, determinare la velocità di lancio posizionando le due fotocellule nel tratto orizzontale immediatamente prima dello stacco e misurando spazio e tempo. La distanza tra le fotocellule deve essere almeno 20cm se si ha un cronometro al millesimo di secondo. Ripetere la misura lasciando cadere la biglia dalla stessa altezza almeno 3 volte e determinare la velocità media.

ATTENZIONE: L’energia di rotolamento NON è trascurabile, non si può determinare la velocità di stacco semplicemente misurando l’altezza di caduta. Le fotocellule potrebbero non essere parallele tra loro, verificare la disposizione misurando le mutue distanze in almeno tre punti (ad es. agli estremi ed al centro).

Lasciar cadere la biglia sempre dallo stesso punto e osservare la traiettoria che descrive durante il moto di caduta in aria. Scegliere l’altezza Y e posizionare il “vassoio” cercando per tentativi il punto corretto.

ATTENZIONE: Il vassoio ha uno spessore di cui si deve tener conto nella misura di Y, ma soprattutto potrebbe non essere perfettamente orizzontale. Un’asta metrica con indice metallico montata su un piedino a botte, può aiutare a valutare la “pendenza”. Noi abbiamo aumentato la banda d’errore, forse largheggiando un po’, a 0,5cm per tener conto di questi effetti.

Nel cadere sulla carta carbone, la biglia lascia un segno sulla carta sottostante, si misuri la distanza X ( in orizzontale ) dal segno al punto di lancio aiutandosi col filo a piombo. Ripetere per diversi valori di Y e successivamente con una velocità di lancio diversa.

Completare una tabella come da esempio riportato (Tabella 1), fare il grafico Y vs X e Y vs X²; in questo secondo caso essendo l’andamento lineare, determinare la costante di proporzionalità.

Confrontare la costante di proporzionalità con il valore atteso e discutere il risultato.

In allegato un file di foglio elettronico per l’elaborazione dei risultati e un questionario per aiutare gli studenti  nell’elaborazione.

ESEMPIO DI DATI RACCOLTI DA STUDENTI SENZA RIPETERE LE MISURE

Δs = distanza tra le fotocellule; il suo errore è stimato in 2mm; l’errore sul tempo medio è la deviazione standard diviso il numero delle prove. In questo caso, avendo ripetuto la prova 3 volte e trovato sempre lo stesso valore, si ritiene di tenere come incertezza la sensibilità dello strumento, anche se si dovrebbe considerare una frazione di essa.

L’errore su ogni determinazione di X è stato stimato attorno ai 4mm (vedi oltre), per Y si è considerato un’errore di 5mm, come già spiegato.

Velocità di lancio: Δs = (0,200±0,002)m; Δt medio = (0,084±0,001)s → Vo=(2,38±0,04)m/s

Figura 5 riporta i grafici della traiettoria \(Y(X)\) e della \(Y(X^2)\).

Il valore medio della costante di proporzionalità tra \(Y\) e \(X^2\) è

(3% d’errore) che si può confrontare con il valore atteso:

Si osserva che il valore di \(k_m\) si discosta del 7% dal valore atteso. Con un numero maggiore di dati o ripetendo le misure l’approssimazione migliora tuttavia bisogna considerare che il modello non sta tenendo conto dell’effetto dell’attrito dell’aria (per una discussione dettagliata si veda per esempio l’articolo 26-Fisica).

parte 2: GITTATA (lavoro di gruppo)

La prova consiste nel misurare la velocità orizzontale di lancio di una biglia, stimare teoricamente la gittata e verificare il dato trovato sperimentalmente.

PROCEDIMENTO: fissare il profilo (o le rotaie PASCO) al tavolo con la morsa, o costruire una rampa. Segnare sul pavimento col gessetto la proiezione del bordo del profilo (punto finale del profilo stesso), aiutandosi col filo a piombo.

Calcolare la velocità della biglia misurando a mano con il cronometro il tempo di percorrenza del tratto finale  del profilo (attenzione: il percorso deve essere abbastanza lungo, almeno 40cm, e il più orizzontale possibile!). Ripetere la misura per ottenere una stima più accurata della velocità media.

Calcolare teoricamente la gittata (distanza del punto di impatto al suolo dalla verticale del punto di lancio) usando la formula:

Porre il pentolino nella posizione trovata e verificare sperimentalmente che la biglia in effetti cada nel pentolino. Ripetere per velocità diverse facendo cadere la biglia da altezze diverse.

In alternativa: utilizzando il metodo della carta copiativa si può determinare sperimentalmente la gittata mettendo un foglio di carta sotto alla carta copiativa a terra (fissarli con lo scotch di carta). Variando la velocità di lancio si può studiare la relazione tra la gittata e la velocità di lancio verificando la proporzionalità diretta. Dalla pendenza della retta è possibile ricavare \(g\).

ESEMPIO DI DATI RACCOLTI DA STUDENTI CON 2 ROTAIE PASCO COLLEGATE

Assumiamo come errore di Δs = 5mm che è circa 1/3 della dimensione della biglia. Obiettivamente, l’errore sullo spostamento deve essere maggiore dell’errore di lettura dato che la misura stavolta è fatta da un operatore. L’errore su \(H\) è stimato e_H=5mm. Gli errori sulla velocità (e_Vo) e gittata teorica (e_gitt teo) sono calcolati con le usuali formule di propagazione degli errori (somma in quadratura degli errori relativi, vedi file excel allegato).

Tabella 2: misure sperimentali e stima della gittata teorica

Il pentolino che abbiamo usato ha un diametro un po’ più grande rispetto alla banda d’errore (ossia 2cm) , ma comunque confrontabile, per cui posizionare il pentolino nel punto atteso significa occupare circa  l’area definita dall’incertezza.

Misurando sperimentalmente la gittata si ottiene il set di dati mostrato in tabella 3.

Da cui si trova una costante di proporzionalità media di (0,415±0,007)s da cui g=(10,2±0,3)m/s2 . Il valore ottenuto di g si discosta del 4% dal valore atteso (9.81 m/s²)

L’errore sulla gittata sperimentale è stato mantenuto 4mm come nella prima parte.

ACCORGIMENTI E ULTERIORI OSSERVAZIONI

• Quando la biglia arriva sulla carta copiativa, a volte lascia un “puntino” netto sulla carta sottostante, a volte striscia un po’ e lascia un trattino di qualche mm di lunghezza (figura 6). La posizione da misurare è chiaramente quella dell’inizio del trattino. Comunque l’errore delle misure in ascissa ragionevolmente non è inferiore ai 4mm. Ripassare a penna la posizione di arrivo della biglia immediatamente dopo ogni “battuta” perché la carta copiativa sporca un po’ e si corre il rischio di perdere di vista i segni.

• Le misure hanno un margine d’errore attorno al 10%. Si ottengono risultati migliori ripetendo più volte le misure, ma a prezzo di un rallentamento significativo nell’esecuzione della prova. Un buon compromesso può essere di ripetere 2 o 3, volte la misura dello spostamento X dopo aver fissato Y. (nota: per dimezzare l’errore sulla media occorrerebbero 4 misure dal momento che l’errore sulla media decresce come la radice quadrata del numero di misure: N-1/2).
• Il tratto scelto per misurare la velocità di lancio con cronometro “a mano” non deve essere troppo corto perché la misura del tempo (e quindi la velocità) sarebbero affetta da un errore molto grande. L’effetto dell’eventuale attrito con il profilo orizzontale è trascurabile o comunque non rilevabile con questo tipo di misure.
• Come “canestro” usare un pentolino e non un bicchiere di plastica (troppo leggero, nell’urto si sposta).
• Nell’impatto la biglia di vetro potrebbe rompersi o scheggiarsi. Per evitarlo si mette dell’ovatta (basta anche un foglio di carta da cucina piegato) nel pentolino.

Bibliografia

• U. Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Zanichelli, vol.1 pag M54;
• Per esperimenti a costo zero con righe da disegno:

    A.Vendemia: “Sperimentare … tra le righe”
   La Fisica nella Scuola, XLI, 3,    2008, pag. 129

• Per misurare il tempo di caduta con fotocellule:

   S.Arvati, C.Pelizzardi: 
   “Studio sperimentale del moto di un grave lanciato”
   Didattica delle Scienze, 2004, n.229, pag. 52 (vedi allegato file: Didasci)

Autori

Arvati Susanna 

Schede / Allegati

• domande
• foglio di calcolo
• didasci

 

Specifiche esperimento Materia Fisica Classi a cui è rivolto 1° biennio Tipologia di laboratorio Povero Reperibilità del materiale Uso quotidiano, negozi specializzati, siti web Materiale specifico Guida anche autocostruita, biglie metalliche o di vetro, cronometro eventualmente collegato con due fotocellule, metro a nastro, filo a piombo, cartoncino, carta carbone Durata esperimento in classe 3 h Capacità di bricolage/assemblaggio Sì Necessità lavorazioni meccaniche/elettroniche No Necessità PC per acqusizione/analisi dati Sì Necessità di uno smartphone No Parole chiave Meccanica Dinamica del punto materiale Moto di un grave Moto uniformemente accelerato