Riassunto / Abstract

Si vuole provare come, con mezzi poco sofisticati e con elementari conoscenze di geometria euclidea o di trigonometria, si possano effettuare delle misure di grandi distanze con precisione relativamente buona.
L’esperienza è tratta dal blog del Dott. Antonio Bruno ( http://centrostudiagronomi.blogspot.com/2016/01/come-sapere-quanto-e-alto-un-albero.html ) ed è stata adattata ad un primo anno di liceo scientifico soprattutto in riferimento all’analisi delle incertezze di misura.

Scheda sintetica delle attività

La triangolazione permette di calcolare grandi distanze a partire da una lunghezza di riferimento e da misure di angoli.

L’accuratezza della misura indiretta dipende ovviamente dalla precisione delle misure angolari.

Si propone agli studenti di costruire due strumenti, utilizzando materiali poveri, che permettono in diverse situazioni ambientali di ottenere la misura della altezza di oggetti distanti.

Risorse necessarie

• Fotocopia ingrandita di un goniometro;
• filo (lenza da pesca o altro);
• pesetti;
• tre assicelle di legno o strisce di cartone robusto di circa 25 cm;
• colla;
• due cannucce;
• coperchio di una scatola di scarpe.

Prerequisiti necessari

• Criteri di similitudine dei triangoli;
• accuratezza nell’assemblaggio;
• valutazione degli errori sperimentali.

Obiettivi di apprendimento

• Utilizzare il metodo della triangolazione in modo consapevole;
• eseguire la misura di una grandezza fisica utilizzando materiali facilmente reperibili;
• utilizzare la geometria per risolvere problemi reali;
• sollecitare le capacità manuali e collaborative per la realizzazione degli strumenti e l’esecuzione delle misure.

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Dopo un’introduzione al metodo della triangolazione e al suo utilizzo nella storia si chiede di costruire i seguenti strumenti:

Clinometro

• Incollare un quadrante da 0° a 90° di un goniometro su un pezzo di compensato o di cartone di circa 20×30 cm;
• alternativamente fare una fotocopia del goniometro e incollarla;
• segare o ritagliare con precisione lungo il contorno curvo del goniometro
• incollare sullo spessore del supporto il mirino costituito da una cannuccia o dal guscio vuoto di un pennarello;
• fare un piccolo foro al vertice dell’angolo del goniometro
• infilare il filo a piombo nel foro e legarlo.

Con questo strumento possiamo misurare gli angoli di inclinazione rispetto all’orizzontale di un oggetto osservato attraverso la linea di mira. Prima di utilizzare lo strumento è utile calibrare il mirino con una livella in modo da assicurarsi che il mirino con la livella in “bolla” corrisponda a 0° . 

Per utilizzare la tavoletta allo scopo di misurare le altezze basterà impugnarla come in figura 2 traguardando l’oggetto da misurare attraverso il mirino.

In queste condizioni è abbastanza facile ottenere una indeterminazione di ± 1 grado o anche migliore (1/2 grado) se lo strumento non è tenuto con le mani, ma è fissato ad esempio su un cavalletto fotografico.
La principale difficoltà sta nella lettura dell’angolo \(\alpha\).

Misura dell’angolo \(\alpha\) e determinazione dell’altezza

Procedere come illustrato in figura 3:

1. Misurare l’angolo \(\alpha\) sotto cui si vede la cima dell’albero;
2. misurare la distanza al piede dell’albero (HE=DC);
3. misurare l’altezza del centro di rotazione dello strumento (DE);
4. osservare che l’altezza dell’albero è BH = BC+CH;
5. per determinare BC, disegnare su un foglio di carta millimetrata un triangolo rettangolo  A’B’C’  retto in C’ e con l’angolo acuto in A’ pari ad \(\alpha\) (figura 4);  il lato del triangolo è arbitrario, essendo ininfluente.

Il triangolo A’B’C’ disegnato è simile al triangolo DBC di figura 3; risulta quindi: 

Per la valutazione degli errori, considerando che l’attività è proposta per ragazzi di classe prima, si può procedere come descritto di seguito.
Supponiamo che la misura sia fatta da una distanza di 12 m (DC) e che l’angolo misurato sia di circa 40°. 
Assumiamo di 1° l’errore sulla misura sull’angolo e, ragionevolmente, di 10 cm l’errore sulla misura della distanza DC del punto di osservazione alla base dell’albero. 
Si disegnano quindi sulla carta millimetrata due triangoli rettangoli con il lato A’C’ pari a 12 cm e con gli angoli in A’ rispettivamente di 39° e 41°. In tal modo si ottengono due valori di B’C’ rispettivamente di circa 9.7 cm e di 10.4 cm. 
Si può quindi assumere per  B’C’ la media dei due valori e come errore la semidispersione, cioè B’C’ = (10.1 ± 0.4) cm.
Si ottiene così: B’C’/A’C’ = 0.84 ± 0.03.
Otteniamo così BC = DC (B’C’/A’C’) = 10.1 m; utilizzando la propagazione degli errori otteniamo l’incertezza pari a:

Infine per ottenere il risultato finale occorre sommare l’altezza da terra dello strumento

per cui :

Abbiamo qui trascurato l’incertezza su CH che risulta essere un ordine di grandezza inferiore all’incertezza sulla misura di BC.
Avendo a disposizione più misure, effettuate dai diversi gruppi di studenti, si può procedere eventualmente al calcolo del valore medio e della varianza.

Dendometro

Un metodo alternativo è costruire un “Dendometro”, che utilizza come variabile la distanza dall’albero al posto dell’angolo \(\alpha\)

. 

• Costruire con tre strisce di cartone robusto un triangolo rettangolo isoscele di 25 cm di lato, annotando contestualmente l’incertezza sull’angolo alla base in modo da poter ripetere i passi già esposti precedentemente;
• fissare con la colla la cannuccia sul lato più lungo del triangolo.
• fissare su un lato verticale del triangolo un filo a piombo, o mettere una livella su quello orizzontale.

Misura e determinazione della altezza
Procedere nel modo seguente:

• disporre lo strumento all’altezza degli occhi;
• verificare con il filo a piombo o con la livella che la base dello strumento sia perfettamente orizzontale;
• spostarsi in modo da traguardare la sommità dell’albero usando il mirino costituito dal cilindro di plastica;
• misurare la distanza tra l’estremità del mirino del dendrometro e la base dell’albero.

Poiché il triangolo ABC in figura 5 è un triangolo rettangolo isoscele AB=AC, l’altezza dell’albero (CH) è uguale ad AB+AH.
La difficoltà nell’eseguire questa misura sta nell’inquadrare la cima dell’albero e contemporaneamente tenere lo strumento in verticale come illustrato in figura 5. E’ consigliata quindi la collaborazione di almeno due persone.
Una volta effettuata la misura si può calcolare l’errore considerando l’incertezza di 1° o 0.5° sull’angolo di costruzione dello strumento \(\alpha=45°\) e ripetere i passaggi esposti precedentemente esposti per il clinometro.

Osservazioni:

Questo secondo strumento è di facile uso, ma può essere utilizzato solo se si ha a disposizione uno spazio ampio e l’albero non è molto alto; il primo strumento ovvia a queste restrizioni ma è più laborioso nell’utilizzo.

Bibliografia

•  http://centrostudiagronomi.blogspot.com/2016/01/come-sapere-quanto-e-alto-un-albero.html 
•  Alcune immagini sono tratte da: https://www.baden-powell.it/tecnica/Topografia/TAVOLETTA%20TOPO.HTML 

Autori

Ciardiello Eduardo
Diener Paola

Specifiche esperimento Materia Fisica Classi a cui è rivolto 1° biennio Tipologia di laboratorio Povero Reperibilità del materiale Uso quotidiano Materiale specifico Goniometro, lenza da pesca, pesetti, assicelle di legno di circa 25 cm, colla, due cannucce, coperchio di una scatola di scarpe Durata esperimento in classe 2 h Capacità di bricolage/assemblaggio Sì Necessità lavorazioni meccaniche/elettroniche No Necessità PC per acqusizione/analisi dati No Necessità di uno smartphone No Parole chiave Metodo sperimentale Metodologie di misura Misure indirette Propagazione degli errori