110) Onde stazionarie in una corda

Riassunto / Abstract

Quando una corda fissata ad un estremo viene messa in vibrazione per il suo estremo libero, a certe frequenze di vibrazione la corda entra in risonanza, mettendo in evidenza i modi normali di oscillazione. Nella esperienza:

  1. vengono evidenziati i modi normali, mostrando che le onde che si generano sono stazionarie;
  2. viene verificata la relazione fra la lunghezza d’onda dei modi normali e la lunghezza della corda;
  3. viene misurata la velocità di propagazione, verificando che essa è legata alla tensione e alla densità della corda.

Scheda sintetica delle attività

Un estremo di una corda viene fatto passare attraverso una carrucola (fissata su un supporto) e agganciata a dei pesi; l’altro estremo è messo in vibrazione mediante un motorino con frequenza variabile. Variando la frequenza si  visualizzano i modi normali.
Nell’esperienza si misurano le frequenze di risonanza al variare della massa dei pesi, della lunghezza e della densità della corda.

Risorse necessarie

  • Corde di diverso materiale;
  • carrucola, pesi, supporto;
  • motorino in grado di produrre oscillazioni armoniche di diversa frequenza;
  • software per l’analisi dei dati.

Prerequisiti necessari

Caratteristiche dei fenomeni ondulatori: frequenza, lunghezza d’onda, velocità di propagazione.

Obiettivi di apprendimento

  • Caratterizzare il fenomeno della risonanza;
  • riconoscere che la risonanza permette di evidenziare i modi propri di vibrazione del mezzo;
  • riconoscere le onde stazionarie;
  • verificare che i dati sperimentali sono in accordo con il modello teorico di una corda fissa agli estremi.

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Figura 1: l’apparato sperimentale.

L’apparato sperimentale è mostrato in figura 1; un estremo di una corda di lunghezza \(L\) viene fatto passare attraverso una carrucola, fissata su un supporto, e agganciato a dei pesi; l’altro estremo è messo in vibrazione mediante un motorino con frequenza variabile (il motorino dell’ondoscopio).

Variando la frequenza del motorino, è possibile visualizzare i modi normali. Questi si riconoscono perché, quando la frequenza di oscillazione del motore coincide con una delle frequenze normali di oscillazione, l’ampiezza delle onde aumenta e si formano delle onde stazionarie ben visibili.
Il numero di modi che si possono evidenziare dipende dalla potenza del motorino, dalla lunghezza e dal materiale della corda.

 Le onde stazionarie che si formano presentano un numero di “nodi” (punti della corda, a parte gli estremi, la cui ampiezza di oscillazione è nulla, ovvero punti della corda che rimangono stazionari durante l’oscillazione) pari a \(N=n-1\): il primo modo normale non ha nodi, il secondo ne ha uno e così via.
Le frequenze dei modi normali sono date da:

\[f_n = \dfrac{v}{2L}n \, \qquad \textrm{con} \, n= 1,\,2\,3\, \ldots \qquad ,\]

dove \(v\) è la velocità delle onde nella corda. 
L’attività consiste nel misurare le frequenze di risonanza della corda al variare della lunghezza e della densità della corda, e della massa dei pesi.

Nell’ esempio qui mostrato, è stata utilizzata una corda di lunghezza \(L\) variabile:

\[1.00\, m;\, 1.20\, m;\, 1.60\, m\]. 

La densità lineare della corda è stata stimata pesando una matassa di 5 m, avente massa \(m_C= \left(3.0 \pm 0.1\right)\, 10^{-3} Kg\), ottenendo  \(d=\left(0.60\pm0.02\right)\, 10^{-3} kg/m\).

La tensione della corda è stata fissata a \(F_T = \left(0.459 \pm 0.001\right)\, N\), ottenuta appendendo a un estremo della corda dei bulloni di massa complessiva \(m_B = \left(46.8\pm0.01\right)\, 10^{-3} kg\).

I risultati ottenuti sono riportati nelle tabelle seguenti, corrispondenti ai diversi valori di \(L\). In ciascuna tabella, viene riportato l’ordine \(m\) del modo, la frequenza, il numero \(N\) di nodi dell’onda stazionaria (pari a \(n-1\)), la velocità (ricavata dalla relazione \(v=\dfrac{2Lf_n}{n}\)) e la lunghezza d’onda del modo normale (determinata a partire dalla relazione \(\lambda_n = \dfrac{v}{f_n}=\dfrac{2L}{n}\)). 

Per \(L=1.00\,m\):

Tabella 1: risultati sperimentali per \(L=1.00\,m\).

Per \(L=1.20\,m\):

Tabella 2: risultati sperimentali per \(L=1.20\,m\).

Per \(L=1.60\,m\):

Tabella 3: risultati sperimentali per \(L=1.60\,m\).

Dai dati sperimentali è possibile notare che la velocità di propagazione delle onde \(v\) è, entro gli errori, sempre la stessa;  eseguendo una media pesata dei valori ottenuti, si ricava come stima della velocità di propagazione:

\[v= \left(28.4 \pm 0.2 \right) \, m/s \,\]

Queto valore è in accordo con quanto previsto teoricamente; infatti la velocità di propagazione dipende dal densità d e dalla tensione \(F_T\) della corda secondo la relazione

\[v = \sqrt{\dfrac{F_T}{d}} \,\]

Nelle condizioni dell’esperimento e tenendo conto che

\[\Delta v = \dfrac{1}{2}v \sqrt{\left(\dfrac{\Delta F_T}{F_T}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta d}{d}\right)^2} \, ,\]

il valore atteso di \(v\) risulta

\[v = \left( 27.7 \pm 0.5 \right)\,m/s \, .\]
Le due stime ottenute per \(v\) sono quindi compatibile tra loro, sicuramente entro due deviazioni standard.

Note e storia

L’attività  fa parte di una collezione di esperienze preparate nell’ambito del progetto “Nuove idee per la didattica laboratoriale nei licei scientifici” finanziato dal MIUR.

Autori

Ciardiello Eduardo
Diener Paola

Schede / Allegati

Specifiche esperimento


Materia
Fisica
Classi a cui è rivolto
2° biennio
Tipologia di laboratorio
Strumentazione semplice
Reperibilità del materiale
Uso quotidiano, negozi specializzati, siti web
Materiale specifico
Corde, carrucola, pesi, supporto, motorino
Durata esperimento in classe
2 h
Capacità di bricolage/assemblaggio

Necessità lavorazioni meccaniche/elettroniche
No
Necessità PC per acqusizione/analisi dati

Necessità di uno smartphone
No
Parole chiave
Onde
Onde elastiche
Velocità di propagazione
Onde stazionarie

Torna in alto