103) Le armoniche di una cannuccia

Riassunto / Abstract

Si utilizza un tratto di cannuccia per produrre le armoniche di un tubo aperto a entrambe le estremità (detto comunemente “tubo aperto”) o a una sola di esse (“tubo chiuso”). La frequenza della armoniche generate viene misurata mediante smartphone o ipad e apposito software. L’analisi dei dati consente di verificare le relazioni tra le armoniche e misurare la velocità del suono.

Scheda sintetica delle attività

Dopo aver preparato la cannuccia e attivato il programma di acquisizione, si soffia su una estremità della cannuccia tenendo aperta o chiusa l’altra estremità. Si analizzano gli spettri visualizzando le armoniche e misurandone la frequenza; si stima infine il valore della velocità del suono.

Risorse necessarie

  • Cannuccia;
  • forbici;
  • righello o app con funzione di righello;
  • ipad (o smartphone);
  • app SpectrumViewPlus per iOS, o analoga.

Prerequisiti necessari

  • Frequenze delle onde stazionarie in tubi aperti o chiusi;
  • nozione di “lunghezza efficace” di un tubo;
  • elaborazione di misure di grandezze in relazione di proporzionalità diretta.

Obiettivi di apprendimento

  • Comprendere che in una colonna d’aria vibrante, come quella di uno strumento a fiato le armoniche “suonano” tutte insieme;
  • comprendere che le frequenze delle armoniche sono multiple di una frequenza detta fondamentale;
  • saper determinare la velocità del suono dalle frequenze di risonanza.

Dotazioni di sicurezza

Non sono necessarie.

Svolgimento

Misure sperimentali
Si taglia un tratto di cannuccia e se ne misura la lunghezza L e il diametro d. Nel caso qui riportato i valori sono rispettivamente:

\[L=(0,103 \pm 0,001) m, d=(0,006 \pm 0,001) m\].

Si aziona la app che registra lo spettrogramma e si soffia ad un’estremità della cannuccia, tenendo l’altra chiusa (“tubo chiuso”) o aperta (“tubo aperto”), registrando i dati  (figura 1 e 2).

Figura 1: spettrogrammi misurati per un tubo chiuso (sinistra) e un tubo aperto (destra)
Figura 2: dettaglio della misura della frequenza fondamentale per il tubo chiuso

Si analizzano gli spettrogrammi mediante app SpectrumViewPlus per iOS (o altro software equivalente); le armoniche corrispondono alle bande luminose orizzontali, la frequenza di risonanza è quella per cui la luminosità è massima. Per individuare meglio il massimo di luminosità nel caso qui illustrato è stata utilizzata la versione a pagamento che permette di fare lo zoom dello spettrogramma facilitando la lettura delle armoniche, come mostrato in figura 2.

Onde stazionarie in tubo aperto e in tubo chiuso

Prima di riportare i dati sperimentali e procedere alla loro analisi, si riporta qui una figura in cui sono mostrate le prime armoniche di un tubo aperto e di un tubo chiuso ad una estremità e la relazione che lega la frequenza delle armoniche con la lunghezza del tubo nei due casi.

Figura 3: armoniche di un tubo aperto (sinistra) e di un tubo chiuso (destra)

Cannuccia aperta a due estremità
Nella tabella 1 sono riportate le frequenza misurate per le varie armoniche.

Tabella 1: valori delle frequenze di risonanza delle prime 4 armoniche per tubo aperto

Per una stima della frequenza fondamentale, si è realizzato il fit delle frequenze misurate in funzione del numero dell’armonica (figura 4)

Figura 4: andamento della frequenza con il numero dell’armonica e retta di regressione lineare per il tubo aperto

La regressione lineare dei dati fornisce il valore di \(\bar{f} = (1600 \pm 6)\) per il coefficiente angolare della retta di regressione, che ha il significato di frequenza della armonica fondamentale; tale valore viene  utilizzato per determinare la velocità del suono:

\[v = 2L\bar{f} = (330 \pm 1)  \ \ \ \ \ \ [1]\]
valore in disaccordo, entro \(2 \sigma\), con il valore atteso della velocità del suono in aria, pari a circa 343 m/s.

Cannuccia aperta a una estremità
Nella tabella 2 sono riportate le frequenza misurate per le varie armoniche per il tubo chiuso ad una estremità

Tabella 2: valori delle frequenze di risonanza delle prime 5 armoniche per tubo chiuso a una estremità

Come nel caso precedente, si è realizzato il fit delle frequenze misurate per ottenere la frequenza fondamentale.

Figura 5: andamento della frequenza con il numero dell’armonica e retta di regressione lineare per il tubo chiuso

In questo caso la regressione lineare dei dati fornisce il valore di \(\bar{f} = (834 \pm 3) \ Hz\) per il coefficiente angolare della regressione lineare, che ha il significato di frequenza della armonica fondamentale; tale valore viene  utilizzato per determinare la velocità del suono; risulta

\[v = 4L\bar{f} = (340 \pm 1) \ \ \ \ \ \ [2]\]
  valore anch’esso in disaccordo, entro \(2 \sigma\), con il valore atteso della velocità del suono in aria, pari a circa 343 m/s.

Approfondimento
I valori trovati per la velocità del suono, in disaccordo con il valore atteso,  sono in realtà affetti da un errore sistematico; infatti nelle espressioni [1] e [2] la lunghezza del tubo va sostituita da un valore efficace che è pari alla lunghezza aumentata di 0,61*R per ogni apertura.  L’utilizzo della lunghezza efficace è giustificato dal fatto che la riflessione dell’onda all’estremità aperta di un tubo avviene in un punto che si trova leggermente al di fuori del tubo (sull’argomento si veda anche (3) in bibliografia)

Considerando questa correzione nel caso del tubo aperto risulta:

\[v = 2L_{eff}\bar{f} = 2 (L + 1,22 R) \bar{f} = (342  \pm 1 )m/s\]
che è ora in accordo, entro \(2 \sigma\), con il valore atteso.

Nel caso del tubo chiuso risulta:

\[v = 2L_{eff}\bar{f} = 2 (L + 0,61 R) \bar{f} = (345  \pm 1 )m/s\]
valore anch’esso in accordo, entro \(2 \sigma\), con il valore atteso.

Bibliografia

  1. Galante, A.M. Lombardi, «Acustica con una Bic e uno smartphone, La Fisica nella Scuola, XLVI, 2, 2013;
  2. Hirth, J.Kuhn, A.Muller, Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology, The Physics Teacher,vol.53, February 2015;
  3. M.J.Ruiz, Boomwhackers and end-pipe corrections, The Physics Teacher,vol.52, February 2014.

Autori

Guidi Giorgio

Specifiche esperimento


Materia
Fisica
Classi a cui è rivolto
2° biennio
Tipologia di laboratorio
Povero
Reperibilità del materiale
Uso quotidiano
Materiale specifico
Cannuccia, forbici, righello, app per analisi armonica
Durata esperimento in classe
2 h
Capacità di bricolage/assemblaggio

Necessità lavorazioni meccaniche/elettroniche
No
Necessità PC per acqusizione/analisi dati

Necessità di uno smartphone

Parole chiave
Onde
Onde acustiche
Onde stazionarie
Velocità del suono