Densità di sostanze solide

È una attività sperimentale semplice che permette di consolidare il concetto di relazione tra massa e volume, riconoscere la relazione di proporzionalità tra grandezze e di introdurre la trattazione sistematica delle incertezze di misura. A diversi gradi di approfondimento potrebbe essere proposta dal primo al terzo anno della scuola secondaria di I grado aggiungendo dettagli, realizzazioni diverse, e approfondendo la trattazione delle incertezze.

Questo esperimento è presente anche nella versione per le scuole secondarie di II grado: Densità di sostanze solide

Scheda esperimento

Classi	1°, 2°, e 3° anno con differente grado di approfondimento
Tipologia	Laboratorio povero
Durata	5h in totale: 2h esperimento, 2h elaborazione dati, 1h sintesi dei risultati

Scheda sintetica delle attività

Suddividere la classe in gruppi di lavoro da quattro alunni per gruppo
Assegnare ad ogni gruppo un set di cinque/sei campioni di forma diversa di una data sostanza solida
Assegnare gli strumenti di misura di volume ai gruppi (cilindri graduati di sensibilità 1cm³ - 2cm³ - 0,5cm³ - 0,2 cm³)
Assegnare gli strumenti di massa, una bilancia con precisione 0,01g
Raccogliere i dati sperimentali in una tabella
Elaborare i dati
Costruire grafico m/V
Utilizzare foglio di calcolo
Riflettere sui risultati

Risorse

Cilindri graduati da 10 ml di sensibilità pari a 0,2 ml, da 25 ml e da 50 ml di sensibilità pari a 0,5 ml, da 100 ml di sensibilità pari a 1 ml e da 200 ml di sensibilità pari a 2 ml
Asta metallica (opzionale)
Acqua
Bilancia
Set di campioni metallici
Carta millimetrata
Calcolatrice
Computer

Allegati

Allegato 1: Misure su bulloni
Allegato 2: Misure su cilindri metallici lucenti
Allegato 3: Misure su pesi bilancia
Allegato 4: Misure su gruppo ramati
Allegato 5: Scheda di verifica

Prerequisiti

Estensione e volume di un solido
La media delle misure
La misura e le sue unità.

Obiettivi di apprendimento

Determinare la densità di una sostanza metallica
Verificare la proporzionalità diretta tra massa e volume e rappresentare i dati ottenuti con grafico
Conoscere la tipologia di errori
Comprendere la propagazione degli errori sulle misure sperimentali
Elaborare i dati sperimentali anche con foglio di calcolo
Valutare i risultati dei dati sperimentali

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Premessa

L’esperienza si articola in due fasi principali. 
Nella prima, gli studenti raccolgono i dati sperimentali misurando la massa e il volume degli oggetti. 
Nella seconda, elaborano i dati per determinare le incertezze nelle misure e costruiscono un grafico che rappresenta i risultati ottenuti.

Realizzazione

Gli studenti lavorano con vari oggetti metallici, come cilindretti, bulloni e viti (figura 1).

Gruppi di oggetti metallici da misurare — Figura 1: gruppi di oggetti metallici da misurare

Inizialmente, esaminano i campioni in base a caratteristiche fisiche quali colore, aspetto e peso stimato. Questi vengono suddivisi in gruppi per ipotizzare il tipo di materiale e calcolarne la densità:

Gruppo “cilindri grigio-chiari”
Gruppo “bulloni e viti”
Gruppo “cilindri metallici lucenti”
Gruppo “pesi di ottone”
Gruppo “cilindri grigi”
Gruppo “cilindri dorati e ramati”

Ogni gruppo di studenti riceve 5-6 campioni e una scheda per la raccolta dati. Gli studenti utilizzano una bilancia per misurare la massa e un cilindro graduato per determinare il volume degli oggetti tramite il metodo dello spostamento dell’acqua. L’oggetto viene immerso nel cilindro graduato, riempito con acqua, e il volume dell’acqua spostata viene registrato come volume dell’oggetto. Gli studenti eseguono misurazioni ripetute per ogni tipo di materiale, confrontando oggetti di forma diversa. Questo permette di riflettere anche sulla variabilità dei dati sperimentali favorendo riflessioni sull’incertezza, come fattore intrinseco in qualunque misura sperimentale.

Raccolta dei dati

Potrebbe essere utile riflettere sulle informazioni rilevanti da inserire nella scheda di raccolta dati, il che risulta più coinvolgente rispetto al semplice riempimento di una scheda precompilata. Questo approccio li incoraggia a pensare in modo critico e a comprendere l’importanza di ogni dato registrato, rendendo l’attività più significativa.

Un esempio potrebbe essere registrare solo i dati misurati come illustrato in tabella 1.

Il nome dell’oggetto (colonna 1);
La massa misurata in grammi con l’errore di sensibilità (colonna 2);
Il volume iniziale misurato dell’acqua nel cilindro graduato prima dell’immersione dell’oggetto V_in (colonna 3);
Il volume finale dell’acqua dopo l’immersione V_fin (colonna 4).

Tabella 1: dati di massa e volume misurati sul campione “GRUPPO GRIGIO CHIARI”

La incertezza nella misura delle masse è determinata dalla sensibilità della bilancia, mentre quella sui volumi dalla sensibilità del cilindro graduato.

Elaborazione dei dati

I dati misurati vengono elaborati e i risultati riassunti in una seconda tabella (tabella 2), che riporta:

Il nome dell’oggetto (colonna 1);
Il volume dell’oggetto calcolato come V_fin – V_in(colonna 2);
l’errore ∆V sul valore del volume V, calcolato come somma in quadratura degli errori di misura su V_in e su V_fin (colonna 3):

\[ \Delta V = \sqrt{\Delta V_{\text{in}}^2 + \Delta V_{\text{fin}}^2} \]

la densità di ciascun oggetto calcolata come rapporto tra massa e volume (colonna 4);

\[d= \frac{m}{V}\]

l’’incertezza relativa sulla densità \(\frac{\Delta d }{d}\) calcolata come somma in quadratura delle incertezze relative sulla massa e sul volume (colonna 5):

\[\frac{\Delta d }{d} = \sqrt{(\frac{\Delta m }{m})^2 + (\frac{\Delta V }{V})^2}\]

L’incertezza assoluta sulla densità (colonna 6) data semplicemente da:

\[\Delta d = \frac{\Delta d }{d}\cdot d\]

analisi dei dati sul campione “GRUPPO GRIGIO CHIARI”

Altri esempi di misure su campioni diversi con analisi dei dati eseguite utilizzando la stessa procedura qui descritta sono riportati negli allegati 1 – 4.

I valori della densità per i diversi cilindri (colonna 4) fluttuano, ma risultano tra loro compatibili all’interno delle incertezze di misura (colonna 6); questo consente di affermare che l’effetto di eventuali ulteriori errori di misura è trascurabile e che le misure sono affette dagli errori strumentali valutati.

Si procede quindi a calcolare il valore medio della densità e la sua incertezza, data, per la propagazione degli errori, dalla media quadratica delle incertezze delle singole misure (ultima riga di tabella 2); questo perché la media è una somma di numeri.

Infine, si confrontano i valori ottenuti con le tabelle standard di densità dei diversi materiali per identificare il materiale componente i cilindri. Nel caso di tabella 2 la densità è compatibile con il valore riportato in letteratura per l’alluminio di 2,700 g/cm³ e permette, quindi, di identificare il materiale dei cilindri come alluminio.

Nota: Qui il calcolo degli errori è applicato in modo rigoroso e questo, per molti aspetti, può risultare complesso, soprattutto nei primi anni della scuola media. Con l’esperienza maturata, però, ogni docente adatterà il livello di approfondimento alle capacità della propria classe, rispettando comunque i principi fondamentali.

Occorre far riflettere gli studenti sul significato dell’incertezza come parametro che quantifica la qualità della misura e far comprendere loro che l’’incertezza è parte integrante del processo di misura.

Nell’eseguire una misura in genere occorre considerare almeno due fonti di incertezza, una è l’errore strumentale dovuto alla sensibilità dello strumento utilizzato e l’altro è l’errore causale dovuto alle variabili su cui non si ha controllo e che influenzano il valore misurato; l’incertezza complessiva si ottiene combinando in quadratura questi due errori.

È importante sottolineare che le misure vanno sempre ripetute più volte e spiegare che la migliore stima del valore di una grandezza fisica il cui valore fluttua per effetto degli errori casuali è data dalla media dei valori misurati e la stima dell’incertezza di misura è dalla deviazione standard delle misure (s) divisa per la radice quadrata del numero n di misure eseguite, cioè: \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)(da combinare in quadratura con l’errore strumentale, per avere l’errore complessivo).

Il concetto di deviazione standard è certamente complesso per gli studenti dei primi anni della scuola media, è comunque importante trasmettere loro che l’incertezza sulla media, dovuto agli errori casuali, diminuisce all’aumentare del numero di misure e, quindi, la precisione aumenta all’aumentare del numero di misure. Il limite alla precisione è dato dall’errore strumentale: quando il valore \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) diventa minore dell’errore strumentale non è più utile aumentare il numero di misure.

Per semplificare la trattazione degli errori, nei primi anni la stima dell’incertezza di misura dovuta agli errori casuali può essere approssimata con la media dei valori assoluti degli scarti, per poi introdurre gradualmente negli anni successivi il concetto di deviazione standard, magari con l’aiuto del docente di informatica che insegni come usare un foglio elettronico per il suo calcolo. In questo modo si evita di favorire la nascita di misconcetti come la semidispersione, l’errore massimo o assoluto, misconcetti che sono poi difficili da sanare.

Un aspetto importante da sottolineare è le incertezze si “propagano” combinandosi in quadratura (propagazione degli errori).
Nelle somme e sottrazioni tra misure, le incertezze si sommano in quadratura, come nel nostro caso del volume V, per il quale

\[ \Delta V = \sqrt{\Delta V_{\text{in}}^2 + \Delta V_{\text{fin}}^2} \]

È utile far riflettere, quindi, che anche nel caso di una differenza, le incertezze si sommano e non si sottraggono, altrimenti due misure con uguale incertezza darebbero un risultato con incertezza nulla.

Nei primi anni, il calcolo dell’errore sul volume V può essere semplificato utilizzando la somma degli errori al posto della somma in quadratura, ma occorre sempre sottolineare che comunque si tratta di una valutazione non corretta e pessimistica.

Nel caso di prodotti o divisioni, si sommano in quadratura gli errori relativi, come per la densità nel nostro caso. Anche qui, per semplificare, nel calcolo dell’errore sulla densità si può utilizzare la somma degli errori relativi al posto della somma in quadratura; inoltre, in questo caso, viene in aiuto anche il fatto che l’incertezza relativa sulla massa è molto inferiore rispetto a quella sul volume e può essere per questo anche trascurata: l’incertezza finale sulla densità sarà dovuta unicamente all’incertezza sul volume, e questo semplifica molto la comprensione e i calcoli.

Elaborazione grafica dei dati

Gli studenti costruiscono un grafico massa-volume (m, V) su carta millimetrata, definendo le scale per gli assi x e y.  Il grafico mostra una relazione di proporzionalità diretta tra la massa e il volume degli oggetti. Utilizzando poi un foglio di calcolo, calcolano la “retta di tendenza” dei dati e i suoi parametri (figura 2); la pendenza della retta rappresenta il valore della densità; il valore trovato:

\[d = 2,71\frac{g}{cm^3}\]

è in accordo con il valore trovato precedentemente.

Figura 2: grafico massa/volume per alcuni campioni di alluminio e retta di tendenza

Note:

nel tracciare la retta è molto istruttivo discutere del passaggio per l’origine come vincolo. Infatti, anche quando si ha la certezza che la legge fisica debba passare per l’origine, come in questo caso della misura della densità, in realtà per la presenza degli errori la retta di tendenza può anche non passare per l’origine: è però necessario che la sua intercetta non disti dall’origine più dell’errore di misura.

Usare un foglio a quadretti invece del foglio di carta millimetrata potrebbe favorire la manualità degli studenti, abituandoli a sviluppare l’uso di metodi grafici semi-quantitativi per rappresentare e comunicare i dati in maniera più immediata ed efficace.

Questa attività è qui proposta come verifica di una definizione, in questo caso la legge della densità. In alternativa, si potrebbe ribaltare l’approccio, guidando gli studenti a scoprire autonomamente che il rapporto 𝑚𝑉mVè costante per ciascun gruppo di campioni. Confrontando i grafici, gli studenti possono osservare che questa costante varia a seconda del materiale (gruppo) e comprendere che tale rapporto definisce una proprietà caratteristica del materiale, una grandezza intensiva, arrivando così alla formulazione della legge della densità.

Ulteriori sviluppi: Misure con la spinta di Archimede

La misura del volume può eseguirsi sfruttando il principio di Archimede:

“Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del liquido spostato”

Mettiamo un bicchiere pieno d’acqua su una bilancia e azzeriamo il peso. Immergiamo poi nel bicchiere un corpo più denso dell’acqua, appeso a un filo: il peso letto sulla bilancia sarà pari al peso dell’acqua spostata. Poiché la densità dell’acqua è di 1 g/cm³, il valore letto sulla bilancia corrisponderà proprio al volume del corpo in cm³. Questo metodo permette di misurare in modo semplice il volume di corpi irregolari, senza necessità di un contenitore graduato, è generalmente più preciso rispetto al metodo basato sul livello dell’acqua ed è facile da realizzare poiché una bilancia da cucina con una precisione di 0,1 g è solitamente disponibile in casa.

Questo metodo può essere utilizzato per approfondire e migliorare l’esperimento in un secondo momento, dopo aver introdotto il concetto di spinta idrostatica.

Un aspetto importante da discutere potrebbe essere l’identificazione delle possibili fonti di errore, confrontando i diversi metodi.

Conclusioni

Questa attività permette agli studenti di sviluppare abilità pratiche nella raccolta e nell’analisi dei dati sperimentali, con particolare attenzione alla sintesi e presentazione dei dati, e al trattamento e uso delle incertezze di misura. In particolare, l’esperienza incoraggia il confronto tra diversi metodi sperimentali, che possono essere proposti in diversi momenti e alla luce di competenze diverse (calcolo dei volumi, principio di Archimede) e l’interpretazione dei dati alla luce di confronti con valori teorici di riferimento. 

Una possibile scheda di valutazione della attività è riportata in allegato 5.

Note e storia

L’esperienza permette di misurare valori di densità di diverse sostanze (alluminio, ferro, ottone, zinco, piombo, ottone e rame) ottenendo valori in accordo con i valori aspettati disponibili in letteratura.
L’esperienza permette inoltre di verificare la proporzionalità diretta tra massa e volume per materiali diversi della stessa sostanza.
La fase di elaborazione sugli errori per gli alunni di terza media richiede impegno ma la riflessione sulle incertezze è certamente positiva. 
L’attività, inoltre, genera sviluppi sul tema delle misure e sulla determinazione del volume dei solidi. 

Inoltre, l’esperienza incoraggia il confronto tra diversi metodi sperimentali, che possono essere proposti in diversi momenti e alla luce di competenze diverse (calcolo dei volumi, principio di Archimede) e l’interpretazione dei dati alla luce di confronti con valori teorici di riferimento.

Nota di approfondimento

Nella analisi dei dati qui presentata viene utilizzata la media dei valori misurati come migliore stima della grandezza fisica da misurare. Si può far riflettere i ragazzi sulla correttezza o meno di questa procedura quando le incertezze sui singoli valori da mediare sono molto diverse tra di loro; se alcuni valori sono più accurati di altri, non si rischia di peggiorare la determinazione del valore corretto della grandezza da misurare utilizzando nella media anche i valori meno precisi?

Si può così far nascere spontaneamente l’idea di non utilizzare nella media tutti i valori ma solo quelli più accurati, scartando i valori meno accurati. Ma è giusto scartare una misura? No, perché si perdono informazioni sul valore da misurare. Si passa così a introdurre il concetto di media pesata, una media in cui non si dà la stessa importanza a tutti i valori ma si privilegiano i valori più accurati:

\[\overline{x_\text{pesato}} = \sum_i {x_i\cdot p_i} \]

Il valore \(p_i\) è il peso percentuale (quindi l’importanza) che si dà alla misura i-esima. Il valore corretto di \(p_i\) da utilizzare è complicato per gli studenti della secondaria di I grado, essendo dato da:

\[p_i = \frac{\frac{1}{\delta_i^2}}{\sum_i{\frac{1}{\delta_i^2}}}\]

dove \(\delta_i\) è l’errore sull’i-esimo valore misurato; può essere comunque semplificato dal docente, sostituendolo con valutazioni più semplici del tipo (con riferimento ai dati della tabella 2) “diamo alla misura più accurata, quella sul cilindro 1, un peso doppio delle altre misure” o altro. Ricordare sempre però che queste valutazioni sono approssimate e che il valore esatto del peso è dato dalla relazione numerica suindicata.

Bibliografia

Alla scoperta, Alfano, Boccardi, De Masi, Forni; Fabbri editore
Let’s Math; Mondatori Scuola
La misura della densità – Scuola HUB -YouTube
Misurare la densità – Zanichelli – YouTube

Autori

Antonia Smisi, I.C. “Piazza Damiano Sauli”, Roma (RM)

Hanno contribuito all’ottimizzazione dell’esperimento:
Salvatore F. Altavilla, I.C. 1 di Modena, Modena
Angela Emilia De Stefano, Scuola secondaria di I grado “Cavour”, Modena