Chi è più veloce?

L’ esperimento proposto permette di introdurre il concetto di incertezza di misura e la trattazione della teoria degli errori attraverso l’analisi dei risultati di un’attività sperimentale sui tempi di reazione degli alunni in classe utilizzando un metro, una bacchetta e un foglio di calcolo. 

Questo esperimento è presente anche per la scuola secondaria di II grado: Chi è più veloce?

Scheda sintetica delle attività

Per svolgere l’esperienza si può procedere come indicato di seguito: 

• Allestire le postazioni 
• Suddividere gli alunni in coppie 

Fase 1: Misura singola 

• Misurazione dei tempi di reazione di ogni alunno eseguendo una singola misura per ogni alunno
• Utilizzando i dati raccolti, stabilire chi è il più veloce tra gli alunni
• Discussione: è proprio vero? 

Fase 2: Misure ripetute 

• Raccolta di più misure per ogni alunno 
• Discussione: perché ripetendo le misure si ottengono valori diversi? 
• Analisi delle sorgenti di errore  
• Utilizzo del concetto di media  

Fase 3: Analisi statistica 

• Introduzione ai concetti di misura sperimentale e di incertezza della misura, quale parametro che caratterizza la dispersione dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti ad una misura (BIPM)
• Valutazione della distribuzione dei dati
• Valutazione dell’intervallo di confidenza dei dati: la deviazione standard e curva di Gauss

Risorse

• Nastro adesivo
• Metro a nastro (1 per ogni coppia)
• Righello di almeno 30 cm (1 per ogni coppia)  
• Matita e block notes (1 a coppia)
• PC (foglio di calcolo) 

Prerequisiti

Per le classi prime:  

• conoscenza del metodo sperimentale;
• conoscenza del concetto di media e della formula per calcolarla;
• saper utilizzare un foglio di calcolo.  

Per le classi seconde: 

• conoscenza del moto uniformemente accelerato e delle formule ad esso relative. 

Per le classi terze: 

• conoscenza dei concetti di base dell’analisi statistica.

Obiettivi di apprendimento

• Applicare il metodo sperimentale
• Analizzare i dati sperimentali
• Confrontare dati sperimentali
• Introdurre la teoria degli errori
• Riconoscere come le situazioni personali e ambientali possano influenzare i tempi di reazione

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Premessa 

L’ esperimento proposto, attraverso la misura in classe dei tempi di reazione degli alunni e all’ interpretazione dei risultati ottenuti, permette di applicare il metodo sperimentale, di ragionare sulla valutazione e l’interpretazione dei dati sperimentali e di introdurre la trattazione della teoria degli errori.  

Realizzazione 

Nell’aula della classe vengono allestite diverse postazioni distanziate di almeno 2 m le une dalle altre e organizzate in modo che in ognuna ci sia attaccato al muro in verticale un metro orientato verso il basso (figura 1).

Gli alunni vengono divisi in coppie (alunno A e alunno B, di seguito A e B) e le coppie si alternano nelle varie postazioni.  
Per misurare i tempi di reazione di A si procede nel seguente modo:  

1. B  tiene ferma sul muro una bacchetta allineata con il metro;  
2. A  si pone davanti al metro ad una distanza dal muro circa pari alla lunghezza del suo braccio; 
3. B lascia cadere improvvisamente la bacchetta;  
4. A ferma la bacchetta schiacciandola con la mano sul muro; 
5. si misura lo spazio percorso dalla bacchetta come differenza tra la posizione finale e iniziale di uno degli estremi della bacchetta rispetto al metro. 

Utilizzando la legge del moto uniformemente accelerato su un foglio di calcolo si determina il tempo che A impiega per fermare la bacchetta (t_A).

 Dall’equazione: 

dove:

ricaviamo:

Si procede invertendo i ruoli per misurare i tempi di reazione di B. 

L’esperimento viene suddiviso in due fasi.
 
Nella prima fase si fa una sola misura per alunno e si stila una classifica per stabilire l’alunno più veloce della classe (a seconda della classe l’operazione matematica descritta sopra, che permette di passare da lunghezza a tempo, viene eseguita dal docente per le classi prime e seconde o dagli alunni per le classi terze).  

Nella seconda fase ogni allievo, nelle stesse condizioni, ripete le misure 20 volte e registra, utilizzando il foglio di calcolo, i valori dei tempi di reazione ottenuti da ogni singola misura.  

Si procede poi analizzando i risultati ottenuti e ragionando sul fatto che ogni alunno, ad ogni prova, registra un tempo diverso da quello della prova precedente. La discussione va orientata sulle cause delle differenze nelle diverse misure di ciascun alunno, valutando insieme quali fattori influenzano le misure e considerando le diverse sorgenti di errore:  

1. errore di zero, cioè l’errore sul posizionamento della bacchetta, che risulta minore dell’1%;
2. errore di lettura della posizione finale che rappresenta circa il 2%; 
3. la distanza della mano dello sperimentatore dal muro il cui effetto risulta minimo se la posizione di partenza è sempre la stessa.  

Dall’ osservazione delle diverse misure gli alunni possono notare che, le differenze sono molto maggiori degli effetti citati, infatti, i risultati hanno una variabilità circa del 35% differendo di diversi centimetri gli uni dagli altri. 
Si arriva a concludere che il fenomeno in esame ha una aleatorietà intrinseca che dipende da fattori fisiologici. 

Per poter stilare una nuova, e più precisa, classifica dei tempi di reazione della classe si ragiona su quali dati siano più rappresentativi e quali abbia senso confrontare ora che ogni alunno ha 20 tempi diversi. Gli alunni di tutte le classi (prime, seconde e terze) identificano velocemente la media dei tempi di ognuno quale dato da confrontare e questa viene calcolata utilizzando il foglio di calcolo.  

La discussione va poi orientata sul fatto che il solo valore medio dei tempi di reazione non sia un’informazione sufficiente a descrivere completamente l’insieme dei diversi valori ottenuti da ogni alunno. Il docente presenta alla classe la possibilità di valutare “il rischio” che si corre assumendo per buono un certo risultato ragionando insieme sul fatto che, quando si stima il valore di una grandezza, non è sufficiente individuare un singolo valore, ma risulta più opportuno accompagnare la stima con un intervallo di valori che descriva la variabilità osservata del parametro stesso (analisi statistica). 

Per analizzare meglio i dati e valutare quanta variabilità mostrano viene chiesto agli alunni di costruire utilizzando il foglio di calcolo, un istogramma in cui sull’ asse delle ascisse sono riportati i tempi di reazione suddivisi in intervalli (ampiezza suggerita di 0,03 s) e sull’ asse delle ordinate la frequenza di dati appartenenti a ciascun intervallo (figura 2). 

L’analisi dei grafici ottenuti permetterà al docente di mostrare che tipo di distribuzione hanno i dati sperimentali e guiderà i ragazzi a capire che questi possono essere descritti da una distribuzione normale rappresentata dalla curva a campana o curva di Gauss¹  (figura 3),  sottolineando che questa distribuzione è di fondamentale importanza in statistica in quanto di uso molto ampio per le sue caratteristiche che la rendono  uno strumento essenziale per l’analisi e l’interpretazione di una vasta gamma di fenomeni sperimentali. 

Il docente sceglie i grafici di due alunni con ampiezza di distribuzione significativamente diversa (in alternativa utilizza grafici esplicativi già preparati) e li mostra per ribadire quanto la media non sia sufficiente a descrivere e rappresentare completamente risultati sperimentali. Il docente sollecita la discussione introducendo il concetto di fiducia cioè la probabilità che la stima di un parametro effettuata sulla base di un campione di misure approssimi il valore effettivo del parametro, entro un determinato intervallo di confidenza. 

Vengono presentate le raccomandazioni del BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) in cui si afferma che: “nel riportare la misura di una grandezza fisica è obbligatorio riportare l’incertezza di misura”, cioè l’intervallo di variabilità dei valori entro cui si suppone che cada il valore vero.  

Ragionando sui grafici si discute su come si possa associare alla media un valore che dia informazioni su quanto i dati siano distribuiti. Prima si introduce la media dei valori assoluti degli scarti come valore che può rappresentare la variabilità degli scarti, in analogia con quanto fatto per i valori delle misure.  

Eventualmente si può introdurre in seguito, solo qualitativamente e rimandandone il calcolo al foglio elettronico, il concetto statistico di deviazione standard o scarto quadratico medio quale indice statisticamente rilevante di quanto i dati distino dalla media aritmetica. Viene sottolineato che una previsione scientifica ha sempre un rischio intrinseco di errore e che, assumendo una distribuzione gaussiana, la percentuale di valori che si trovano all’interno di un intervallo intorno alla media ampio due deviazioni standard è del 95%². 

Per gli alunni delle classi prime e seconde la discussione viene impostata con un taglio puramente qualitativo mentre per le classi terze viene affrontata anche in modo quantitativo calcolando la deviazione standard dei tempi di reazione per ogni alunno utilizzando il foglio di calcolo. 

A questo punto si può stabilire una classica confrontando i valori medi dei diversi alunni evidenziando un “vincitore”. Si continua la discussione discutendo sul fatto che, se i valori medi sono diversi, ma i loro intervalli di variabilità si sovrappongono, la differenza osservata può essere un artefatto e quindi non essere significativa; in questo caso se A risulta più veloce di B non è detto che lo sia realmente, in quanto in una prova successiva è probabile che accada che A risulti più lento di B.  

Viceversa, la probabilità che i risultati siano realmente diversi aumenta all’aumentare delle differenze tra i dati e quando gli intervalli di incertezza non si sovrappongono; in questo caso, se A risulta più veloce di B è probabile che lo sia realmente, in quanto in una prova successiva è probabile che risulti ancora più veloce di B. 

Note e storia

1.  La curva di Gauss (o curva a campana), dal nome del matematico e astronomo tedesco che la utilizzò, in una pubblicazione del 1809, è un grafico che si ottiene quando rappresentiamo numero grande di dati. Ha una forma a campana dove la maggior parte dei dati si concentra attorno a un valore centrale (la media); i dati si diradano man mano che ci si allontana da questo valore. 

Le caratteristiche principali della curva gaussiana sono:  

• media: è il valore centrale della curva, dove si trova la maggior parte dei dati. Ad esempio, se i voti di una classe sono intorno al 7, allora la media sarà proprio vicina a 7. 
• simmetria: la curva è simmetrica rispetto al valore medio centrale. Significa che ci sono tante persone che ottengono voti un po’ più alti della media quante ne ottengono un po’ più bassi. 
• dispersione dei dati: la curva si allarga o si restringe a seconda di quanto i dati si distribuiscono più vicini o più lontani dalla media; la deviazione standard è una misura di questa dispersione: se i voti sono tutti simili (es. 6, 7 e 8), la curva è stretta; se i voti variano molto (es. 4, 5, 7, 10), la curva è più larga. 

2.  La curva gaussiana descrive come i dati si distribuiscono intorno alla media. Il 68% dei dati si trova entro 1 deviazione standard (σ ) dalla media. Questo significa che se la media è 7 e la deviazione standard è 1, allora circa il 68% degli studenti ha un voto tra 6 e 8; il 95% dei dati si trova entro 2σ. Nel nostro esempio, sarebbe tra 5 e 9. Quasi tutti i dati (99.7%) si trovano entro 3σ. 

Bibliografia

• Chi è più veloce? – Esperimento LS-OSA per la scuola secondaria di II grado 

Autori

Simona De Persiis, I.C. “I. Ridolfi”, Tuscania (VT)
Mimma Mastrandrea, I.C. “D.F. Davanzati e V.S. Mastromatteo”, Palo del Colle (BA)
Silvia Orsi, I.C. “N. Tommaseo”,Torino