Alla scoperta di π

Il tema presentato costituisce un semplice esempio di trattazione interdisciplinare tra Matematica e Fisica poiché ci si propone di ricavare il valore corrispondente al \(\pi\) da misure dirette di lunghezze (diametri e circonferenze) e di aree. L’esperienza costituisce un primo approccio all’insegnamento della Fisica sperimentale e può essere utilizzata anche per introdurre il trattamento dell’incertezza delle misure. Non necessita di strumentazione sofisticata ed i prerequisiti richiesti in termini di conoscenze e abilità la rendono adatta a qualunque classe del 2° anno (prima parte) e del 3° anno.

Il tema presentato costituisce un semplice esempio di trattazione interdisciplinare tra Matematica e Fisica poiché ci si propone di ricavare il valore corrispondente al da misure dirette di lunghezze (diametri e circonferenze) e di aree. L’esperienza costituisce un primo approccio all’insegnamento della Fisica sperimentale e può essere utilizzata anche per introdurre il trattamento dell’incertezza delle misure. Non necessita di strumentazione sofisticata ed i prerequisiti richiesti in termini di conoscenze e abilità la rendono adatta a qualunque classe del 2° anno (prima parte) e del 3° anno.

Questo esperimento è presente anche nella versione per le scuole secondarie di II grado: Alla scoperta di \(\pi\)

Scheda esperimento

Classi	2° – 3° anno
Tipologia	Laboratorio povero
Durata	3h per ciascuna parte

Scheda sintetica delle attività

L’esperienza si compone di due parti indipendenti l’una dall’altra.

Parte 1: Relazione tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro

si misura il diametro e la circonferenza delle sezioni circolari di diversi oggetti;
si verifica che esiste una relazione di proporzionalità diretta tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro corrispondente;
si calcola la costante di proporzionalità deducendo il valore di \(\pi\).

Parte 2: Rapporto tra l’area di un cerchio e l’area del quadrato ad esso circoscritto

si misura direttamente l’area di un cerchio in termini di numero di quadretti contenuti in esso, utilizzando un foglio a quadretti;
si calcola il rapporto tra l’area del cerchio e l’area del quadrato ad esso circoscritto poi da questo rapporto si deduce il valore di \(\pi\);
si ripete l’intera procedura su cerchi di dimensione maggiore, cioè si diminuisce il rapporto tra l’area del singolo quadretto e quella del cerchio: si analizza l’influenza di ciò sull’incertezza della misura delle aree e sul valore di \(\pi\) ricavato.

Risorse

Alcuni oggetti con sezione esterna circolare (diametro variabile da 1 a 15 cm circa)
Foglio grande (almeno formato A3) di carta da riciclo
Riga da disegno (portata 50 cm, sensibilità 1 mm)
Foglio elettronico (solo se si sceglie un approccio approfondito)
Foglio protocollo a quadretti
Compasso
Penne colorate

Prerequisiti

Per la prima parte rivolta alle classi seconde:

conoscenza della relazione di proporzionalità diretta;
conoscenza del concetto di media e della formula per calcolarla;
saper rappresentare punti su un diagramma cartesiano.

Per la seconda parte, rivolta alle classi terze:

conoscenza della formula per il calcolo dell’area del quadrato;
conoscenza della formula per il calcolo dell’area del cerchio.

Obiettivi di apprendimento

Prendere coscienza che ciascuna misura è affetta da incertezza
Conoscere il significato di valore medio
Saper analizzare graficamente una proporzionalità diretta determinandone la costante di proporzionalità
Conoscere il significato di semidispersione massima e di incertezza relativa

Dotazioni di sicurezza

Nessuna

Svolgimento

Parte 1: Relazione tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro

Premessa

La prima parte è un’attività di “scoperta”: si arriva a riconoscere la costanza del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro; il valore di questa costante definisce proprio il numero p che, quindi, non è necessario conoscere a priori. Senza addentrarsi nella valutazione delle incertezze di misura, questa prima parte si può proporre a qualunque classe seconda.

La stessa attività potrebbe essere utilizzata in una classe terza per introdurre i concetti base di teoria della misura quali il valore medio, la deviazione standard, l’errore sulla media, collegandoli subito a misure reali (per questo tipo di approccio seguire quanto riportato nell’analogo esperimento per la scuola secondaria di I grado: Alla scoperta di \(\pi\) )

Disponendo di computer, l’esperienza fornisce lo spunto per presentare il foglio elettronico e per insegnare come disegnare tabelle per la raccolta e l’elaborazione dei dati sperimentali, introdurre formule di calcolo, costruire grafici cartesiani rappresentando valori medi e relative incertezze. Se non si dispone di computer si può comunque utilizzare una calcolatrice, un foglio protocollo a quadretti, riga e squadra da disegno.

L’esperienza si è sempre rivelata molto coinvolgete sia nella parte pratica delle misurazioni che in quella più teorica dell’elaborazione grafico-matematica. Le conclusioni spesso sorprendono lo studente abituato a collegare il numero \(\pi\) solo a formule già note di geometria, senza sapere che può essere derivato dall’analisi di semplici misure di lunghezza effettuate all’interno della disciplina Fisica.

Realizzazione

Si scelgono alcuni oggetti di uso comune che abbiano una sezione esterna circolare. Se si dispone di un calibro è possibile misurare anche sezioni interne. Sono stati utilizzati un rotolino di scotch, un cilindro graduato, un becher grande, una bomboletta spray, un barattolo e una colla stick.

Ogni ragazzo misura la lunghezza della circonferenza e del diametro di una sezione scelta per ciascun oggetto.
Per la misura del diametro si utilizza un semplice righello oppure una riga da disegno. Per sezioni situate all’interno dell’oggetto si può utilizzare un calibro limitando la lettura alla sola scala dei millimetri.
Per la misura della circonferenza si utilizzano delle striscette di carta alte circa 1 cm ritagliate da un foglio formato A3: si fanno ben aderire al contorno considerato, si prende un segno sul punto di sovrapposizione; si distende poi la striscetta e si misura la lunghezza interessata con una riga.

Uno studente misura la circonferenza di un barattolo — Figura 1: uno studente misura la circonferenza di un barattolo

Si compila una tabella per ogni oggetto che raccoglie le misure di tutti i ragazzi

misure del diametro d e della circonferenza C dei vari oggetti misurati da 20 ragazzi di una classe — Tabella 1: misure del diametro d e della circonferenza C dei vari oggetti misurati da
20 ragazzi di una classe

Osservando i dati riportati in tabella, gli studenti notano che i valori relativi alla misura della stessa lunghezza non si presentano tutti uguali fra loro. Questa considerazione permette di introdurre il concetto dell’incertezza di una misura dovuta all’inevitabile presenza di fattori (“errori di misura”) che influenzano la procedura di misurazione: diverso posizionamento dello zero della riga sul diametro o sulla striscetta di carta, piano della circonferenza misurata non parallelo al diametro misurato, errore di parallasse, errore di sensibilità dello strumento che non permette di apprezzare le frazioni del millimetro, ecc.
Qual è allora il risultato per la misura del diametro e della circonferenza dei vari oggetti?
Gli studenti concordano nel prendere il valore medio come risultato più attendibile anche se “incerto”, cioè diverso dal valore vero che non potremo mai conoscere con esattezza.
Con la calcolatrice si calcolano i valori medi per le misure dei diametri e delle circonferenze dei vari oggetti. Si riportano poi in una nuova tabella approssimandoli al decimo di centimetro (tabella 2).

Tabella 2: valori medi dei diametri e delle circonferenze

Su un foglio protocollo a quadretti aperto (le dimensioni diventano quelle di un foglio A3) si costruisce un grafico cartesiano, riservando la direzione parallela al lato più lungo per l’asse dei valori delle circonferenze medie.
Utilizzando la riga da disegno si riportano sugli assi i valori corrispondenti ai dati della tabella 2. Tratteggiando poi le parallele agli assi, si individua sul piano la posizione dei punti corrispondenti alle cinque coppie di valori.
Si osserva che i punti rappresentati tendono a disporsi lungo una retta passante per l’origine, a testimonianza di una relazione di proporzionalità diretta tra circonferenza e diametro. Si traccia quindi la linea di tendenza, cioè la linea che meglio approssima l’andamento dei dati (figura 3).

andamento della lunghezza della circonferenza in funzione del diametro e linea di tendenza — Figura 3: andamento della lunghezza della circonferenza in funzione del diametro
e linea di tendenza

Se la lunghezza della circonferenza è direttamente proporzionale a quella del suo diametro, allora il rapporto tra le due lunghezze si mantiene costante. Inoltre, questa costante di proporzionalità coincide con la pendenza della retta passante per l’origine che descrive l’andamento grafico della relazione tra le due grandezze.

\[C \propto d \to \frac{C}{d} = \text{costante = pendenza della retta}\]

Figura 4: determinazione grafica della costante di proporzionalità

Per determinare graficamente la costante di proporzionalità scegliamo, sulla linea di tendenza, un punto P per il quale si individuano facilmente i valori delle coordinate (figura 4). Si arriva poi al valore della pendenza della retta calcolando il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa del punto considerato:

\[x_p = 11,0 \text{ cm}\]

\[y_p = 34,5 \text{ cm}\]

\[\text{pendenza} = \text{costante di proporzionalità} = \frac{y_p}{x_p} = \frac{34,5 \text{ cm}}{11,0 \text{ cm}} = 3,13636 \approx 3,14\]

A questa costante di proporzionalità si dà il nome di pi greco e la si indica con il simbolo \(\pi\)

Dalla legge della proporzionalità diretta si ricava inoltre la formula per il calcolo della lunghezza della circonferenza: circonferenza uguale diametro per 3,14:

\[\frac{C}{d} = \pi \rightarrow C = d \cdot \pi\]

Seconda parte: Rapporto tra l’area di un cerchio e l’area del quadrato ad esso circoscritto

Premessa

La seconda parte è una misurazione di pi greco: si arriva a determinare il valore di \(\pi\) misurando l’area di un cerchio e l’area del quadrato ad esso circoscritto.

Il procedimento seguito per la misurazione dell’area del cerchio conduce ad un valore corredato da incertezza che influenza il risultato per il \(\pi\). Confrontando i risultati ottenuti con cerchi di dimensioni diverse si individua la modalità operativa che diminuisce l’incertezza relativa e permette di ottenere risultati con grado di precisione più elevato.

Realizzazione

Partendo dalle formule per il calcolo dell’area del cerchio e del quadrato si ricava l’espressione che permette di calcolare il valore di p, come illustrato in figura 5.

determinazione della formula per il calcolo di pi greco — Figura 5: determinazione della formula per il calcolo di \(\pi\)

Su un foglio protocollo a quadretti piccoli (lato quadretto 4mm) si disegna con il compasso una circonferenza di raggio 10 quadretti e il quadrato ad essa circoscritto.

Si contano i quadretti che si trovano completamente all’interno del cerchio (verdi in figura 6) e si indica questo numero con 𝐴_𝑚𝑖𝑛.

Si contano i quadretti che non sono completamente esterni al cerchio (gialli in figura 6), si somma il valore ottenuto ad 𝐴_𝑚𝑖𝑛 e si indica questo numero con 𝐴_𝑚𝑎𝑥 .

Circonferenza di 20 quadratini di diametro — Figura 6: circonferenza di raggio pari a 10 quadretti; in verde sono indicati i quadretti completamente interni alla circonferenza, in giallo quelli non completamente esterni

Con riferimento alla figura 6, si trova:

\[A_\text{min} = 277 \text{ quadretti}\]

\[A_\text{max} = 338 \text{ quadretti}\]

L’ area del quadrato circoscritto è :

\[A_\text{quadrato} = 400 \text{ quadretti}\]

Utilizzando la formula ricavata in Figura 5 si ottiene un valore massimo per in corrispondenza di e un valore minimo in corrispondenza di

\[\pi_{max} = 4 \cdot\frac{338 \text{ quadretti}}{400 \text{ quadretti}} = 3,38\]

\[\pi_{min} = 4 \cdot \frac{277\text{ quadretti}}{400 \text{ quadretti}} = 2,77\]

\[\pi_{medio} = \frac{3,38 + 2,77}{2} = 3,075\]

Assumiamo come errore la semidispersione \(\Delta\) dei valori trovati:

\[\Delta = \frac{3,38-2,77}{2} = 0,305\]

Il risultato della misura è quindi:

\[\pi\ =\ 3,1 \pm 0,3\]

La procedura utilizzata in questa seconda parte per arrivare al valore di è molto semplice ma il risultato trovato è piuttosto scadente, infatti l’errore relativo percentuale è circa il 10%:

\[\epsilon_{\%} = \frac{\Delta}{\pi_\text{medio}}\cdot 100 = \frac{0,305}{3,075}\cdot 100= 9,9\%\]

Per migliorare il risultato occorre aumentare la sensibilità del metodo, aumentando il rapporto tra area da misurare e l’unità di misura scelta, cioè la dimensione del quadratino; si potrebbe sostituire il foglio a quadretti con carta millimetrata, utilizzando così uno strumento 16 volte più sensibile.
Purtroppo, l’individuazione delle aree da misurare e il conteggio dei quadratini in questo caso diventa davvero complesso. Per questo è consigliabile aumentare l’area del cerchio piuttosto che diminuire quella del quadretto.

Si ripetono per questo tutti i passi precedenti partendo da una circonferenza avente raggio di 15 quadretti prima (figura 7) e 20 quadretti poi (figura 8).

Circonferenza di 30 quadratini di diametro — Figura 7: circonferenza di raggio pari a 15 quadretti

Con riferimento alla figura, si trova: \(A_{min} = 649 q\) e \(A_{max} = 748 q\)

L’ area del quadrato circoscritto è : \(A_{quadrato} = 900 q\)

\[\pi_{max} = 4\cdot \frac{748 q}{ 900 q} = 3,324\] \[\pi_{min} = 4\cdot \frac{649 q}{ 900 q} = 2,884\] \[\bar{\pi} = \frac{3,24+2,884}{2}=3,104\] \[\Delta = \frac{3,324-2,884}{2} = 0,22\]

Il risultato della misura è quindi:

\[\pi\ =\ 3,1 \pm 0,2\] \[\epsilon_{\%} = \frac{\Delta}{\bar{\pi}}\cdot 100 = \frac{0,22}{3,10}\cdot 100= 7,1 \% \]

Circonferenza di 40 quadratini di diametro — Figura 8: circonferenza di raggio pari a 20 quadretti

Con riferimento alla figura, si trova: \(A_{min} = 1234q\) e \(A_{max} = 1367q\)

L’ area del quadrato circoscritto è : \(A_{quadrato} = 1600q \)

\[\pi_{max} = 4\cdot \frac{1367q}{ 1600q} = 3,417\] \[\pi_{min} = 4\cdot \frac{1234q}{ 1600q} = 3,085\] \[\bar{\pi} = \frac{3,417+3,085}{2}=3,251\] \[\Delta = \frac{3,417-3,085}{2} = 0,17\]

Il risultato della misura è quindi:

\[\pi\ =\ 3,25\pm 0,17\] \[\epsilon_{\%} = \frac{\Delta}{\bar{\pi}}\cdot 100 = \frac{0,17}{3,25}\cdot 100= 5,1 \% \]

Notare come, rispetto alla prima costruzione grafica, l’errore relativo percentuale nell’ultimo caso si è all’incirca dimezzato.

La conclusione dell’intera esperienza è affidata al confronto dei risultati ottenuti con i due diversi metodi seguiti e alla discussione sull’opportunità o meno di seguire l’uno o l’altro.

Note e storia

Questa attività segue lo studio degli elementi della circonferenza e del cerchio (centro, raggio, diametro, corda, arco, segmento e settore circolare, posizione delle rette rispetto alla circonferenza, angoli al centro e alla circonferenza, poligoni inscritti e circoscritti) e precede il calcolo della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio. Si inserisce come attività laboratoriale di studio sperimentale sulla lunghezza della circonferenza e sulla misura della superficie del cerchio

Bibliografia

Alla scoperta di \(\pi\) – Esperimento LS-OSA per la scuola secondaria di II grado

Autori

Paola De Paolis, IIS “G.Marconi”, Civitavecchia (RM) – CTS LS-OSA

Ha contribuito a ottimizzare l’esperimento:
Barbara Baldi, I.C. “Santorre di Santarosa”, Savigliano (CN)